二项分布 | 小谷的随笔

二项分布（binomial distribution），即在给定实验次数和成功的概率下，取得一定次数的成功的结果的概率。

例如：

二项分布模型

三个参数： $k, n, p$

记号： $B(k;n,p)$

B(k;n,p)=\binom{n}{k}\times P(期望的结果)

其中:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}

进一步得到：

B(k;n,p)=\binom{n}{k}\times p^k \times (1-p)^{n-k}

假设你在玩《星穹铁道》，目前有一组角色卡池，可以从中抽取角色。

角色概率如下：

假设有无穷多张卡，抽卡并不会改变抽到其它卡的概率。

假设你非常想抽卡芙卡，这样你可以完成最佳组队。但是，你得氪金。假设抽一张卡花一个星琼，现在有一个活动，充值 10 元可以获得 100 星琼。

你就打算花 10 块钱，而且只有概率大于 5 成才会抽卡。

那么可以代入公式：

\binom{100}{1}\times 0.00720^1 \times (1-0.00720)^{99}\approx0.352

那么，不应该抽卡？

等一下，万一我们不止抽到一个呢？可能是 2 个，甚至可能是 3 个。

因此，我们真正的概率是：

\binom{100}{1}\times 0.00720^1 \times (1-0.00720)^{99} + \binom{100}{2}\times 0.00720^2 \times (1-0.00720)^{98} + \binom{100}{3}\times 0.00720^3 \times (1-0.00720)^{97} + \cdots

使用 $\Sigma$ 简写：

\sum_{k=1}^{100}\binom{100}{k}\times 0.00720^k \times (1-0.00720)^{100-k}

使用 MATLAB 计算：

>> 1 - binocdf(0.5, 100, 0.00720)

ans =

    0.5145

或者使用：

sum(binopdf(1:100, 100, 0.00720))

只抽到一个卡芙卡的概率只有 0.352，但是至少有一个卡芙卡的概率是 0.515。

所以，掏钱抽卡吧！